Question

如圖，⊙O是直角△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，弦BD=BA，BE垂直DC的延長線于點(diǎn)E，
（1）求證：∠BCA=∠BAD．
（2）求DE的長．
（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BD=BA得到∠BDA=∠BAD，再根據(jù)圓周角定理得∠BCA=∠BDA，然后利用等量代換即可得到∠BCA=∠BAD．
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=13，再證明△BED∽△CBA，然后利用相似比計(jì)算DE；
（3）連結(jié)OB，由（1）得∠BCA=∠BAD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BCE=∠BAD，所以∠BCA=∠BCE，而∠BCO=∠CBO，則∠BCE=∠CBO，于是可判斷OB∥ED，由于BE⊥ED，所以EB⊥BO，然后根據(jù)切線的判定定理得到BE是⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；
（2）解：∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，
∴AC=

AB2+BC2

=13，
∵∠BDE=∠CAB，
而∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴

BD

AC

=

DE

AB

，即

12

13

=

DE

12

，
∴DE=

144

13

；
（3）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵∠BCA=∠BAD，
而∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．