Question

18．已知：如圖1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，點D是線段AC的中點，連接BD并延長至點E，使BE=2BD．連接AE，CE．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2所示，將三角板頂點M放在AE邊上，兩條直角邊分別過點B和點C，若∠MEC=∠EMC，BM交AC于點N．
①求證：△ABN≌△MCN；
②當(dāng)點M恰為AE中點時sin∠ABM=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）先證BD=DE，再加上AD=DC的條件可直接得出結(jié)論；
（2）①先CM=CE=BA，然后由“角角邊”定理直接得出結(jié)論；
②由M是AE中點，得出CM=EM=AM，再結(jié)合CE=CM，可證得△CEM是等邊三角形，從而∠CMA=∠ABM=30°．

解答 解：（1）∵點D是線段AC的中點，BE=2BD，
∴AD=CD，DE=BD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
（1）①∵四邊形ABCE是平行四邊形，
∴CE=AB，
∵∠MEC=∠EMC，
∴CM=AB，
在△ABN和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CM}\\{∠BAN=∠CMN}\\{∠ANB=∠MNC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△MCN（AAS）；
②∵∠ACE=∠CAB=90°，M為AE中點，
∴CM=EM=AM，
∵CE=CM，
∴CE=CM=EM，
∴△CEM是等邊三角形，
∴∠CME=2∠MCA=60°，
∴∠MCA=30°，
∵△ABN≌△MCN，
∴∠ABM=∠MCA=30°，
∴sin∠ABM=$\frac{1}{2}$．

點評 本題為四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識點，難度不大，屬中檔題．