Question

已知，如圖，雙曲線y=

4

x

（x＞0）與直線EF交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且AE=AB=BF，連結(jié)AO，BO，它們分別與雙曲線y=

2

x

（x＞0）交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，則：
（1）AB與CD的位置關(guān)系是

 

；
（2）四邊形ABDC的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）首先過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，由雙曲線y=

4

x

（x＞0）與直線EF交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE=AB=BF，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

4

m

），得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2m，

2

m

），則可由S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN，求得△AOB的面積，易得△ODH∽△OBN，可得（

OD

OB

）²=

2

4

=

1

2

，繼而可得

OC

OA

=

OD

OB

，所以AB∥CD  
（2）由

OC

OA

=

OD

OB

，∠COD=∠AOB則可證得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，
∴AM∥DH∥BN∥y軸，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（m，

4

m

），
∵AE=AB=BF，
∴OM=MN=NF，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2m，

2

m

），
∴S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN=2+

1

2

×（

2

m

+

4

m

）×（2m-m）-2=3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴

OD

OB

=

DH

BN

=

OH

ON

，
∵DH•OH=2，BN•ON=4，
∴（

OD

OB

）²=

2

4

=

1

2

，
同理：（

OC

OA

）²=

1

2

，
∴

OC

OA

=

OD

OB

，
∴AB∥CD  
故答案為：AB∥CD  

（2）∵

OC

OA

=

OD

OB

，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴

S△COD

S△AOB

=（

OD

OB

）²=

1

2

，
∴S_△COD=

3

2

，
∴S_{四邊形ABDC}=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．