Question

9．如圖，AD是△ABC的中線，tanB=$\frac{1}{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=$\sqrt{2}$．求：
（1）BC的長；
（2）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：作出△ABC的外接圓，并求外接圓半徑．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)即可得出答案；
（2）作AB、AC的垂直平分線，交點(diǎn)O即為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，即可得出△ABC的外接圓，根據(jù)sin∠ABC=sin∠AOK即可解決問題．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB=$\frac{1}{3}$，即$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4；
（2）如圖，①作線段AB的垂直平分線NM．
②作線段AC的垂直平分線GH與直線MN的交點(diǎn)O就是△ABC外接圓的圓心．
③以點(diǎn)O為圓心OA為半徑作圓．
⊙O就是所求作的△ABC的外接圓．
∵∠AOC=2∠ABC，∠AOK=∠COK，
∴∠ABC=∠AOK，
∵sin∠AOK=sin∠ABC=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AK}{AO}$，
由（1）可知AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{AO}$，
∴AO=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是解直角三角形的知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正確應(yīng)用，本題也可以用相似三角形求半徑，屬于中考�？碱}型．