Question

（2010•硚口區(qū)模擬）如圖1，拋物線y=a（x-2）²-2的頂點(diǎn)為C，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（其中A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），CH⊥AB于H，且tan∠ACH=

1

2

（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使得以O(shè)、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？若存在，求所有的符合條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，將（1）中的拋物線平移，使其頂點(diǎn)在y軸的正半軸上，在y軸上是否存在一點(diǎn)M，使得平移后的拋物線上的任意一點(diǎn)P到x軸的距離與P點(diǎn)到M的距離相等？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)給出的拋物線解析式，能得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，則CH長(zhǎng)可求，在Rt△ACH中，結(jié)合∠ACH的正弦值能得到AH的長(zhǎng)，在確定點(diǎn)A的坐標(biāo)后代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．
（2）這道題需要充分利用等腰梯形的性質(zhì)：兩底平行、兩腰相等、對(duì)角線相等、同一底上的兩內(nèi)角相等．首先根據(jù)上述特點(diǎn)中的相等角，找出點(diǎn)D的大致位置，然后再根據(jù)相等的邊長(zhǎng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，在求解時(shí)要分三種情況考慮：以O(shè)B、OC、BC為下底進(jìn)行考慮．
（3）首先用未知數(shù)表示平移后的拋物線解析式（平移過(guò)程中，二次項(xiàng)系數(shù)是不變的）和點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式求出PM的長(zhǎng)，依據(jù)“P到x軸的距離與P點(diǎn)到M的距離相等”作為等量條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線的解析式知：C（2，-2）；
在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2×

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=1，則 A（1，0）、B（3，0）．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
0=a（1-2）²-2，則 a=2；
∴拋物線的解析式：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6．

（2）假設(shè)存在符合條件的D點(diǎn)．
連接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2

2

；tan∠HBC=2，BC=

5

．
①當(dāng)OB∥CD₁、OD₁=BC時(shí)，如右圖；
點(diǎn)D₁的橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與BH長(zhǎng)相同，則點(diǎn)D₁（1，-2）．
②當(dāng)OD₂∥BC、OC=BD₂時(shí)；
tan∠D₂OB=tan∠HBC=2，則 直線OD₂：y=2x；
設(shè)點(diǎn)D₂（x，2x），則：BD₂=

(x-3)2+(2x-0)2

=

5x2-6x+9

，
由OC=BD₂得：2

2

=

5x2-6x+9

，解得：x=

1

5

，x=1（舍）
即點(diǎn)D₂（

1

5

，

2

5

）．
③當(dāng)OC∥BD₃、OD₃=BC時(shí)；
∠D₃BO=∠HOC=45°，即tan∠D₃BO=1，可設(shè) B（x，3-x）；
由OD₃=BC=

5

，得：
x²+（3-x）²=5，解得 x=2，x=1（舍）
即點(diǎn)D₃（2，1）．
綜上可知，存在符合條件的點(diǎn)D，且坐標(biāo)為：（1，-2）、（

1

5

，

2

5

）、（2，1）．

（3）設(shè)平移后的拋物線解析式為：y=2x²+m，那么其頂點(diǎn)為（0，m），若存在符合條件的點(diǎn)M，則M（0，2m）；（m＞0）
設(shè)P（x，2x²+m），則：
PM²=（x-0）²+（2x²+m-2m）²=x²+4x⁴-4mx²+m²，P到x軸的距離：2x²+m；
依題意有：x²+4x⁴-4mx²+m²=（2x²+m）²，解得：m=

1

8

．
∴存在符合條件的點(diǎn)M，且坐標(biāo)為 M（0，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰梯形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識(shí)．最后兩個(gè)小題是該題的難點(diǎn)，特別是（2）題，由于考慮不夠全面而造成的漏解是容易出錯(cuò)的地方．