Question

如圖，在直角坐標系xOy中，已知點P（2，），過P作PA⊥y軸交y軸于點A，以點P為圓心PA為半徑作⊙P，交x軸于點B，C，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，C三點．
（1）求點A，B，C的坐標；
（2）求出該拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得四邊形ABCP的面積是△BPQ面積的2倍？若存在，請求出所有滿足條件的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作BC的垂線，設(shè)垂足為D；由P點坐標可確定A、D點的坐標，在Rt△BDC中，PC、PD的長已知，很容易求得CD、BD的長，由此確定B、C的坐標．
（2）將（1）題得到的三點坐標，代入拋物線的解析式中進行求解即可．
（3）按（1）的思路，容易得到四邊形ABCP是平行四邊形，那么S_?ABCP=2S_△ABP=2S_△BPC，若四邊形ABCP的面積是△BPQ面積的2倍，那么S_△BPA=S_△BPC=S_△BPQ，以BP為底進行討論，那么點Q為過A或C且與BP平行的直線與拋物線的交點，按此思路解題即可．
解答：解：（1）過P作PD⊥BC交BC于D，
由題意得：PA=PB=PC=2，PD=OA=
∴BD=CD=1，
∴OB=1，
∴A（0，），B（1，0），C（3，0）；

（2）設(shè)該拋物線解析式為：y=a（x-1）（x-3），則有：
=a（0-1）（0-3），解之得a=，
故該拋物線的解析式為y=（x-1）（x-3）；

（3）存在．
∵∠BDP=90°，BD=1，BP=2，
∴cos∠DBP==，
∴∠DBP=60°，
∴∠BPA=60°，
∴△ABP與△BPC都是等邊三角形，
∴S_{四邊形ABCP}=2S_△ABP=2S_△BCP．
∵B（1，0），P（2，），
∴過B，P兩點的直線解析式為：y=．
則可設(shè)經(jīng)過點A且與BP平行的直線解析式為：y=x+b₁，
且有=×0+b₁，解之得b₁=即y=x+．
解方程組，得或．
也可設(shè)經(jīng)過點C且與BP平行的直線解析式為：y=x+b₂，
且有0=3+b₂，解之得 b₂=-3即y=x-3．
解方程組，得或．
∴Q（0，），（7，8），（3，0），（4，）．
點評：該二次函數(shù)綜合題中涉及到解直角三角形、圖形面積的解法等知識，（3）題需分類討論，是容易漏解的地方，將所求面積進行適當轉(zhuǎn)化也是解題的一個小技巧．