Question

（2013•鐵嶺）如圖，在平面直角坐標中，直線l經過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，過點A（0，1）作y軸的垂線l于點B，過點B₁作作直線l的垂線交y軸于點A₁，以A₁B．BA為鄰邊作?ABA₁C₁；過點A₁作y軸的垂線交直線l于點B₁，過點B₁作直線l的垂線交y軸于點A₂，以A₂B₁．B₁A₁為鄰邊作?A₁B₁A₂C₂；…；按此作法繼續(xù)下去，則C_n的坐標是

（-

3

×4^n-1，4ⁿ）

．

Answer 1

分析：先求出直線l的解析式為y=

3

3

x，設B點坐標為（x，1），根據直線l經過點B，求出B點坐標為（

3

，1），解Rt△A₁AB，得出AA₁=3，OA₁=4，由平行四邊形的性質得出A₁C₁=AB=

3

，則C₁點的坐標為（-

3

，4），即（-

3

×4⁰，4¹）；根據直線l經過點B₁，求出B₁點坐標為（4

3

，4），解Rt△A₂A₁B₁，得出A₁A₂=12，OA₂=16，由平行四邊形的性質得出A₂C₂=A₁B₁=4

3

，則C₂點的坐標為（-4

3

，16），即（-

3

×4¹，4²）；同理，可得C₃點的坐標為（-16

3

，64），即（-

3

×4²，4³）；進而得出規(guī)律，求得C_n的坐標是（-

3

×4^n-1，4ⁿ）．

解答：解：∵直線l經過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，
∴直線l的解析式為y=

3

3

x．
∵AB⊥y軸，點A（0，1），
∴可設B點坐標為（x，1），
將B（x，1）代入y=

3

3

x，
得1=

3

3

x，解得x=

3

，
∴B點坐標為（

3

，1），AB=

3

．
在Rt△A₁AB中，∠AA₁B=90°-60°=30°，∠A₁AB=90°，
∴AA₁=

3

AB=3，OA₁=OA+AA₁=1+3=4，
∵?ABA₁C₁中，A₁C₁=AB=

3

，
∴C₁點的坐標為（-

3

，4），即（-

3

×4⁰，4¹）；
由

3

3

x=4，解得x=4

3

，
∴B₁點坐標為（4

3

，4），A₁B₁=4

3

．
在Rt△A₂A₁B₁中，∠A₁A₂B₁=30°，∠A₂A₁B₁=90°，
∴A₁A₂=

3

A₁B₁=12，OA₂=OA₁+A₁A₂=4+12=16，
∵?A₁B₁A₂C₂中，A₂C₂=A₁B₁=4

3

，
∴C₂點的坐標為（-4

3

，16），即（-

3

×4¹，4²）；
同理，可得C₃點的坐標為（-16

3

，64），即（-

3

×4²，4³）；
以此類推，則C_n的坐標是（-

3

×4^n-1，4ⁿ）．
故答案為（-

3

×4^n-1，4ⁿ）．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，解直角三角形以及一次函數的綜合應用，先分別求出C₁、C₂、C₃點的坐標，從而發(fā)現規(guī)律是解題的關鍵．