Question

如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作⊙O，⊙O與BC邊的交點恰好為BC的中點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接OD，可以證得DE⊥OD，然后證明OD∥AC即可證明DE⊥AC；
（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE與CE的比值即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵D是BC的中點，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，

∠AED=∠DEC ∠ADE=∠DCE

∴△CDE∽△DAE，
∴

DE

AE

=

CE

DE

，
設tan∠ACB=x，CE=a，則DE=ax，AC=3ax，AE=3ax-a，
∴

ax

3ax-a

=

a

ax

，整理得：x²-3x+1=0，
解得：x=

3± 5

2

，
∴tan∠ACB=

3+ 5

2

或

3- 5

2

．
（可以看出△ABC分別為銳角、鈍角三角形兩種情況）

點評：本題主要考查了切線的性質的綜合應用，解答本題的關鍵在于如何利用三角形相似求出線段DE與CE的比值．