Question

1．如圖，在Rt△ABC中，AC=4，BC=6，在其內部做一個矩形CDEF，其中CD和CF分別在兩條直角邊上．
（1）若DE=4，求CD的長．
（2）設DE的長為x，用含x的代數(shù)式表示CD．
（3）在（2）的條件下，設矩形CDEF的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式．
（4）矩形CDEF的面積能否等于Rt△ABC的面積的六分之一？此時CD的長度是多少？

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ADE∽△ACB，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論；
（2）同（1）可得出結論；
（3）根據(jù)DE=x，CD=4-$\frac{2}{3}$x可直接得出結論；
（4）假設矩形CDEF的面積能否等于Rt△ABC的面積的六分之一，再求出x的值即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，AC=4，BC=6，DE=4，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{AC-CD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{4-CD}{4}$=$\frac{4}{6}$，解得CD=$\frac{4}{3}$；

（2）同（1）可得，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{AC-CD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{4-CD}{4}$=$\frac{x}{6}$，解得CD=4-$\frac{2}{3}$x；

（3）∵DE=x，CD=4-$\frac{2}{3}$x，
∴S_矩形CDEF=DE•CD=x•（4-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+4x（0＜x＜6）；

（4）∵S_矩形CDEF=-$\frac{2}{3}$x²+4x，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×6=12，
∴-$\frac{2}{3}$x²+4x=$\frac{1}{6}$×12，解得x=3+2$\sqrt{6}$或x=3-2$\sqrt{6}$（舍去），
∴CD=4-$\frac{2}{3}$x=4-$\frac{2}{3}$×（3-2$\sqrt{6}$）=2+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質、矩形的面積等知識，先根據(jù)題意用x表示出CD的長，再由矩形的面積公式求解是解答此題的關鍵，此題難度適中．