Question

18．定義，如果一個銳角等腰三角形滿足一個角的2倍，那么我們稱這個三角形為“智慧三角形”．
（1）“智慧三角形”頂角的度數為36°；
（2）如圖1，正五邊形ABCDE中，對角線AC，BE交于點P．求證：△APE為智慧三角形；
（3）如圖2，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且∠A=108°，∠B=144°，
①求∠D的度數；
②求證：AB+BC=DE+EF．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：①底角度數是頂角度數的2倍時，設頂角度數為x，則底角度數為2x，由三角形內角和定理得出方程，解方程求出x即可；
②頂角度數是底角度數的2倍時，設底角度數為x，則頂角度數為2x，由三角形內角和定理得出方程，解方程求出x，得出2x=90°（不合題意）；即可得出結果；
（2）由正五邊形的性質得出AB=AE=BC，∠ABC=∠BAE=108°，得出∠ABE=∠AEB=∠ACB=36°，求出∠APE=∠PAE=2∠AEB，AE=PE，得出△APE為智慧三角形；
（3）①延長FA、CB交于點G，延長AB、DC交于點H，延長CD、FE交于M，求出∠G=72°，∠H=72°，由平行線的性質得出∠CDE=108°；
②證出BG=AB，同理：EM=DE，證明四邊形GCMF是平行四邊形，得出GC=FM，即可得出結論．

解答 （1）解：分兩種情況：
①底角度數是頂角度數的2倍時，
設頂角度數為x，則底角度數為2x，
由三角形內角和定理得：x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，即頂角度數為36°；
②頂角度數是底角度數的2倍時，
設底角度數為x，則頂角度數為2x，
由三角形內角和定理得：x+x+2x=180°，
解得：x=45°，2x=90°（不合題意）；
綜上所述：“智慧三角形”頂角的度數為36°；
故答案為：36°；
（2）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴AB=AE=BC，∠ABC=∠BAE=108°，
∴∠ABE=∠AEB=∠ACB=36°，
∴∠PAE=108°-36°=72°，
∴∠APE=72°，
∴∠APE=∠PAE=2∠AEB，
∴AE=PE，
∴△APE為智慧三角形；
（3）①解：延長FA、CB交于點G，延長AB、DC交于點H，延長CD、FE交于M，如圖所示：
∵∠BAF=108°，∠ABC=144°，
∴∠BAG=72°，∠ABG=36°，
∴∠G=72°，
同理：∠H=72°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE=180°-72°=108°；
②證明：∵∠G=∠BAG，
∴BG=AB，
同理：EM=DE，
∵BC∥EF，CD∥AF，
∴四邊形GCMF是平行四邊形，
∴GC=FM，
即BG+BC=EM+EF，
∴AB+BC=DE+EF．

點評 本題考查了“智慧三角形”的判定、正五邊形的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要通過作輔助線證明四邊形是平行四邊形才能得出結論．