Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經(jīng)過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠CAD．
（1）求證：直線MN是⊙O的切線；
（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出AD、AC長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可．

解答 （1）證明：連接OC，
因為OA=OC，
所以∠BAC=∠ACO．
因為AC平分∠BAD，
所以∠BAC=∠CAD，
故∠ACO=∠CAD．
所以O(shè)C∥AD，
又已知AD丄MN，
所以O(shè)C丄MN，
所以，直線MN是⊙O的切線；
（2）解：已知AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，
又AD丄MN，
則∠ADC=90°．
因為CD=3，∠CAD=30°，
所以AD=3$\sqrt{3}$，AC=6
在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，
所以Rt△ABC∽Rt△ACD，
則$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
則AB=4$\sqrt{3}$，
所以⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力．