Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為D，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，且OB =" 2OC=" 3．

（1）求a，b的值；
（2）將45°角的頂點(diǎn)P在線段OB上滑動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，該角的一邊過(guò)點(diǎn)D，另一邊與BD交于點(diǎn)Q，設(shè)P（x，0），y₂=DQ，試求出y₂關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線x = m，x = m+分別與拋物線y₁交于點(diǎn)E，G，與y₂的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，H．問(wèn)點(diǎn)E、F、H、G圍成四邊形的面積能否為？若能，求出m的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由已知，OB=2OC=3
可得，拋物線y₁=ax²-2ax+b經(jīng)過(guò)B(3，0)，C(0，)兩點(diǎn)，
∴，∴
∴拋物線的解析式為y₁=-x²+x+．          ---------4分
（2）作DN⊥AB，垂足為N．（如下圖1）
由y₁= -x²+x+易得D(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，
∴AB=4，DN=BN=2，DB=2，
ÐDBN=45°．根據(jù)勾股定理有BD ²-BN ²="PD" ²-PN ²．
∴(2)²-2²=PD²-(1-x)²-----j
又ÐMPQ=45°=ÐMBP，
∴△MPQ ∽ △MBP，∴PD²=DQ´DB=y₂´2------k．
由j、k得y₂=x²-x+．∵0≤x＜3，
∴y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為y₂=x²-x+=(0≤x≤3)．--------4分
（自變量取值范圍沒(méi)寫(xiě)，不扣分）


（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為 （如圖2）
∵點(diǎn)E、G是拋物線y₁= -x²+x+= 分別與直線x=m，x= m+的交點(diǎn)
∴點(diǎn)E、G坐標(biāo)為E(m，)，G(m+，)．
同理，點(diǎn)F、H坐標(biāo)為F(m，)，H(m+，)．
∴EF=-［］=
GH=)-［］=．
∵四邊形EFHG是平行四邊形或梯形，
∴S=［+］×=
化簡(jiǎn)得
解得m=或（都在0≤x≤3內(nèi)）
所以，當(dāng)m=或時(shí)，E、F、H、G圍成四邊形的面積為.   --------4分解析:
通過(guò)B(3，0)，C(0，)兩點(diǎn)，求出拋物線的解析式，
（2）作DN⊥AB，由y₁求出AB=4，DN=BN=2，DB=2，由根據(jù)勾股定理得jPD²-(1-x)²=4，又因?yàn)椤?i>MPQ ∽ △MBP，所以kPD²=DQ´DB=y₂´2，由j、k得y₂與x的函數(shù)關(guān)系式
（3）假設(shè)E、F、H、G圍成四邊形的面積能為，通過(guò)y₁求出E、G、F、H的坐標(biāo)，求出EF、GH的長(zhǎng)度，
通過(guò)四邊形EFHG的面積求出m的值