Question

【題目】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律:例如，若數(shù)軸上點(diǎn) A , B 表示的數(shù)分別為 a , b ，則 A , B 兩點(diǎn)之間的距離AB=，線段 AB 的中點(diǎn)M 表示的數(shù)為．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B,C表示的數(shù)分別為-8，2，20．

（1）如果點(diǎn)A和點(diǎn)C都向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且都用了4秒鐘，那么這兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別是點(diǎn)A每秒_______個(gè)單位長(zhǎng)度、點(diǎn)C每秒______個(gè)單位長(zhǎng)度；

（2）如果點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)問當(dāng)這兩點(diǎn)與點(diǎn)B距離相等的時(shí)候，t為何值？

（3）如果點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)它們分別到達(dá)C點(diǎn)時(shí)就停止不動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)P；

①　t為何值時(shí)PC=12；

②　t為何值時(shí)PC=4．

Answer 1

【答案】（1）2.5；4.5；（2）t＝4或7；（3）①；②20

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式求出AB的長(zhǎng)和BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)速度=路程÷時(shí)間即可得出結(jié)論；

（2）分點(diǎn)A和點(diǎn)C相遇前AB=BC、相遇時(shí)AB=BC和相遇后AB=BC三種情況，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)AB=BC列出方程求出t的即可；

（3）①分點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之前和點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之后且點(diǎn)A到點(diǎn)C之前兩種情況，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用中點(diǎn)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式和PC=12列方程即可求出t的值；

②分點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之前和點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之后且點(diǎn)A到點(diǎn)C之前兩種情況，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用中點(diǎn)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式和PC=12列方程即可求出t的值；

解：（1）∵點(diǎn)A,B,C表示的數(shù)分別為-8，2，20．

∴AB=2－（-8）=10，BC=20－2=18

∵點(diǎn)A和點(diǎn)C都向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且都用了4秒鐘，

∴點(diǎn)A的速度為每秒：AB÷4=個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)C的速度為每秒：BC÷4=個(gè)單位長(zhǎng)度，

故答案為：；．

（2）AC=20－（-8）=28

∴點(diǎn)A和點(diǎn)C相遇時(shí)間為AC÷（1＋3）=7s

當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C相遇前，AB=BC時(shí)，此時(shí)0＜t＜7，如下圖所示

此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程為1×t=t，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路程為3×t=3t

∴此時(shí)AB=10－t，BC=18－3t

∵AB=BC

∴10－t=18－3t

解得：t=4；

當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C相遇時(shí)，此時(shí)t=7，如下圖所示

此時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)C重合

∴AB=BC

即t=7；

當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)C相遇后，此時(shí)t＞7，如下圖所示

由點(diǎn)C的速度大于點(diǎn)A的速度

∴此時(shí)BC＞AB

故此時(shí)不存在t，使AB=BC．

綜上所述：當(dāng)A、C兩點(diǎn)與點(diǎn)B距離相等的時(shí)候，t＝4或7．

（3）點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為：BC÷3=6s，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)C的時(shí)間為：AC÷1=28s

①當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之前，即0＜t＜6時(shí)，如下圖所示

此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)為-8＋t，點(diǎn)B所表示的數(shù)為2＋3t

∴線段AB的中點(diǎn)P表示的數(shù)為

∴PC=20－（2t－3）=12

解得：t=；

當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之后且點(diǎn)A到點(diǎn)C之前，即6≤t＜28時(shí)，如下圖所示

此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)為-8＋t，點(diǎn)B所表示的數(shù)為20

∴線段AB的中點(diǎn)P表示的數(shù)為

∴PC=20－（）=12

解得：t=4，不符合前提條件，故舍去．

綜上所述：t=時(shí)，PC=12；

②當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之前，即0＜t＜6時(shí)，如下圖所示

此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)為-8＋t，點(diǎn)B所表示的數(shù)為2＋3t

∴線段AB的中點(diǎn)P表示的數(shù)為

∴PC=20－（2t－3）=4

解得：t=，不符合前提條件，故舍去；

當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C之后且點(diǎn)A到點(diǎn)C之前，即6≤t＜28時(shí)，如下圖所示

此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)為-8＋t，點(diǎn)B所表示的數(shù)為20

∴線段AB的中點(diǎn)P表示的數(shù)為

∴PC=20－（）=4

解得：t=20．

綜上所述：當(dāng)t=20時(shí)，PC=4．