Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE=CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F．
求證：AE=AF．（初二）

Answer 1

分析：連接BD，作CH⊥DE于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出正方形DGCH，求出2CH=CE，求出∠CEH=30°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)求出∠AEC=∠CAE=15°，求出∠F的度數(shù)即可．

解答：證明：連接BD，作CH⊥DE于H，
∵正方形ABCD，
∴∠DGC=90°，GC=DG，
∵AC∥DE，CH⊥DE，
∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°，
∴四邊形CGDH是正方形．
由AC=CE=2GC=2CH，
∴∠CEH=30°，
∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°，
又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°，
∴∠F=180°-150°-15°=15°，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的外角性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，此題綜合性較強(qiáng)，但難度適中．