Question

如圖，I是Rt△ABC（∠C=90°）的內心，過I作直線EF∥AB，分別交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n，則用m、n表示S_△ABC=    ．

Answer 1

【答案】分析：過I分別作三邊的垂線，垂足為D、F、G，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得到相似比，表示三角形的兩直角邊a、b，由勾股定理求內切圓半徑r，根據ab=2S_△ABC=r（a+b+c），求斜邊c，根據S_△ABC=ab求解．
解答：解：如圖，過I分別作三邊的垂線，垂足為D、F、G，設AB=c，BC=a，AC=b，ID=IH=IG=r，
由△ABC∽△EIG∽△IFH，得=，=，
解得a=，b=，
由勾股定理，得c²=a²+b²，得1=+，
解得r=，
又ab=2S_△ABC=r（a+b+c），
∴=r（++c），
解得c=m+n+=m+n+，
∴S_△ABC=ab=
=（）²（m+n+）²
=．
故答案為：．
點評：本題考查了三角形內心的性質．關鍵是作輔助線，利用三角形相似表示直角三角形的三邊，利用直角三角形的面積公式求解．