Question

16．在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達掃描實驗，表盤是△ABC，其中AB=AC=20，∠BAC=120°，在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程，設(shè)AP與BC邊的交點為M，旋轉(zhuǎn)2019秒，則MC=20．

Answer 1

分析 由于120=8×15，則可判斷光線AP從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)8秒到達AC后再經(jīng)過8秒返回AB，加上2019=126×16+3，于是可得到旋轉(zhuǎn)2019秒時，AP從AB繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)了3秒，則可計算出此時∠BAP=45°，所以∠CAP=75°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠B=∠C=30°，再判定△AMC為等腰三角形，從而得到CA=CM=20．

解答 解：∵120=8×15，即光線AP從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)8秒到達AC后再經(jīng)過8秒返回AB，
而2019=126×16+3，
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)2019秒時，AP從AB繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)了3秒，
∴此時∠BAP=15°×3=45°，
∴∠CAP=120°-45°=75°，
∵AB=AC=20，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠AMC=∠B+∠BAM=30°+45°=75°，
∴CA=CM=20．
故答案為20．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)2019秒時AP與AB的夾角．