Question

16．在一次科技活動(dòng)中，小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)掃描實(shí)驗(yàn)，表盤(pán)是△ABC，其中AB=AC=20，∠BAC=120°，在點(diǎn)A處有一束紅外光線AP，從AB開(kāi)始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)15°，到達(dá)AC后立即以相同旋轉(zhuǎn)速度返回AB，到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程，設(shè)AP與BC邊的交點(diǎn)為M，旋轉(zhuǎn)2019秒，則MC=20．

Answer 1

分析 由于120=8×15，則可判斷光線AP從AB開(kāi)始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)8秒到達(dá)AC后再經(jīng)過(guò)8秒返回AB，加上2019=126×16+3，于是可得到旋轉(zhuǎn)2019秒時(shí)，AP從AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)了3秒，則可計(jì)算出此時(shí)∠BAP=45°，所以∠CAP=75°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠B=∠C=30°，再判定△AMC為等腰三角形，從而得到CA=CM=20．

解答 解：∵120=8×15，即光線AP從AB開(kāi)始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)8秒到達(dá)AC后再經(jīng)過(guò)8秒返回AB，
而2019=126×16+3，
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)2019秒時(shí)，AP從AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)了3秒，
∴此時(shí)∠BAP=15°×3=45°，
∴∠CAP=120°-45°=75°，
∵AB=AC=20，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-120°）=30°，
∴∠AMC=∠B+∠BAM=30°+45°=75°，
∴CA=CM=20．
故答案為20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)2019秒時(shí)AP與AB的夾角．