Question

如圖，拋物線的頂點M在x軸上，拋物線與y軸交于點N，且OM=ON=4，矩形ABCD的頂點A、B在拋物線上，C、D在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點A的橫坐標為t（t＞4），矩形ABCD的周長為l，求l與t之間函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）先確定M與N的坐標，由于已知頂點坐標，則可設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x-4）²，然后把N點坐標代入求出a即可得到拋物線的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性得到CD=2DM=2t-8，再表示A點的縱坐標得到AD，然后利用矩形的周長定理求解．

解答：解：（1）∵OM=ON=4，
∴M點坐標為（4，0），N點坐標為（0，4），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-4）²，
把N（0，4）代入得16a=4，解得a=

1

4

，
所以拋物線的解析式為y=

1

4

（x-4）²=

1

4

x²-2x+4；
（2）∵點A的橫坐標為t，
∴DM=t-4，
∴CD=2DM=2（t-4）=2t-8，
把x=t代入y=

1

4

x²-2x+4得y=

1

4

t²-2t+4，
∴AD=

1

4

t²-2t+4，
∴l(xiāng)=2（AD+CD）
=2（

1

4

t²-2t+4+2t-8）
=

1

2

t²-8（t＞4）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．