Question

如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點M（8，0）點N（0，6），點P以每秒3個單位長度的速度沿NO由N向O運動，點Q以每秒5個單位長度的速度沿MN由M向N運動．已知點P，Q同時出發(fā)，且當一點運動到終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．
（1）當四邊形PQMO為梯形時，求t的值；
（2）當△PQO為等腰三角形時，求t的值；
（3）在整個運動中，以PQ為直徑的圓能否與x軸相切？若能，請求出運動時間t；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當PQ∥OM時，四邊形PQMO為梯形
此時有，
即，
解得：t=1，
所以，當t=1秒時，四邊形PQMO為梯形．


（2）P點的坐標為（0，6-3t），
Q點的坐標為（8-4t，3t），
△PQO為等腰三角形；
當PO=OQ時，作OH⊥x軸于點H，
在Rt△OQH中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（3t）²，
此時方程無實數(shù)根，故此種情況不存在；
當PQ=OQ時，此時Q在OP的垂直平分線上，
所以P點的縱坐標是Q點縱坐標的2倍，
即有6-3t=2×3t，
解得t=，
當t=秒時，△PQO為等腰三角形；
當PO=PQ時，作QG⊥y軸于點G．
在Rt△PGQ中，有（6-3t）²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
此時方程無實數(shù)根，故此種情況不存在．


（3）若以PQ為直徑的⊙A與x軸相切點T，連接AT，作QB⊥x軸于點B，
則AT=R=（OP+QB）=PQ，
即OP+QB=PQ，
所以[（6-3t）+3t]²=（8-4t）²+（6-3t-3t）²，
解得：t₁=，t₂=2，
所以當t₁=，t₂=2時，以PQ為直徑的圓與x軸相切．

分析：（1）當PQ∥OM時，四邊形PQMO為梯形時，此時△NPQ∽△NOM，利用相似三角形的性質(zhì)，對應邊成比例，可以求出t的值．
（2）當△PQO為等腰三角形時，可以是PO=OQ，也可以是PQ=OQ，因此解題時，要分兩種情況進行討論，列出關于t的方程，解方程，進而確定t的值．
（3）先假設能相切，根據(jù)切線的性質(zhì)，連接切點和圓心，得到垂直關系，進而得到關于t的方程，解方程，若方程有解，則存在，若方程無解，則不存在．
點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題．