【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4).點(diǎn)A在DE上,以A為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C,且對(duì)稱(chēng)軸x=1交x軸于點(diǎn)B.連接EC,AC.點(diǎn)P,Q為動(dòng)點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求點(diǎn)A坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式.
(2)在圖①中,若點(diǎn)P在線(xiàn)段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線(xiàn)段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)t為何值時(shí),△PCQ為直角三角形?
(3)在圖②中,若點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P做PF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G,交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ.當(dāng)t為何值時(shí),△ACQ的面積最大?最大值是多少?
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3 (2)當(dāng)t=或t=時(shí),△PCQ為直角三角形 (3)t=2
【解析】(1)由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上,可求得點(diǎn)A的坐標(biāo),然后設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣1)2+4,將點(diǎn)C代入即可求得答案;
(2)分別從∠QPC=90°與∠PQC=90°,利用cos∠QPC求解即可求得答案;
(3)首先設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)AC的解析式,然后求得點(diǎn)Q的坐標(biāo),繼而求得S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ(AG+DG)=(t﹣2)2+1,則可求得答案.
解:(1)∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C(3,0),D(3,4),E(0,4),點(diǎn)A在DE上,
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣1)2+4,
把C(3,0)代入拋物線(xiàn)的解析式,可得a(3﹣1)2+4=0,
解得a=﹣1.
∴拋物線(xiàn)的解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;
(2)依題意有:OC=3,OE=4,
∴CE==5,
當(dāng)∠QPC=90°時(shí),
∵cos∠QPC=,
∴,
解得t=;
當(dāng)∠PQC=90°時(shí),
∵cos∠QCP=,
∴,
解得t=.
∴當(dāng)t=或t=時(shí),△PCQ為直角三角形;
(3)∵A(1,4),C(3,0),
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b,則,解得: .
故直線(xiàn)AC的解析式為y=﹣2x+6.
∵P(1,4﹣t),將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,得x=1+,
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+,
將x=1+代入y=﹣(x﹣1)2+4中,得y=4﹣.
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣,
∴QF=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣,
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=FQAG+FQDG=FQ(AG+DG)=FQAD=×2(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1,
∴當(dāng)t=2時(shí),△ACQ的面積最大,最大值是1.
“點(diǎn)睛”考查了二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)點(diǎn)有:拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,矩形的性質(zhì),待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)的解析式,待定系數(shù)法求直線(xiàn)的解析式,勾股定理,三角形面積,二次函數(shù)的最值,以及分類(lèi)思想的運(yùn)用.
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C.5
D.6
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B.6
C.5
D.4
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