Question

如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；

②連接MN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、O；

③過(guò)C作CE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）當(dāng)∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長(zhǎng)為18時(shí)，求四邊形ADCE的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：由作法可知：直線(xiàn)DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，

 

 

 ∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。

又∵CE∥AB，∴∠ADO =∠CEO。

∴△AOD≌△COE（AAS）�！郞D=OE�！嗨倪呅蜛DCE是菱形。

（2）解：當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，

         由（1）知AC⊥DE，∴OD∥BC。

∴△ADO∽△ABC�！�。

又∵BC=6，∴OD=3。

又∵△ADC的周長(zhǎng)為18，∴AD+AO=9， 即AD=9﹣AO。

∴，解得AO=4

∴。

【解析】作圖（復(fù)雜作圖），線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。

（1）利用直線(xiàn)DE是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，從而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形。

（2）利用當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得出OD和AO的長(zhǎng)，即根據(jù)菱形的性質(zhì)得出四邊形ADCE的面積。