Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC的中點．以CD為直徑作⊙O，交邊AC于點P，連接BP，交AD于點E．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）如果PB是⊙O的切線，BC=4，求PE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC，點D是邊BC的中點得到AD⊥BC，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AD是⊙O的切線；
（2）連結(jié)OP，由于AD是⊙O的切線，PB是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得PE=DE，根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥PE，易證得△BDE∽△BPO，則

DE

OP

=

BD

BP

，由于BC=4，得到CD=BD=2，則OP=1，OB=3，利用勾股定理計算出BP=

OB2-OP2

=2

2

，然后利用相似比可計算出DE=

2

2

，所以PE=

2

2

．

解答：（1）證明：∵AB=AC，點D是邊BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)OP，如圖，
∵AD是⊙O的切線，PB是⊙O的切線，
∴PE=DE，OP⊥PE，
∴∠BPO=90°，
∴∠BPO=∠ADB=90°，
而∠DBE=∠PBO，
∴△BDE∽△BPO，
∴

DE

OP

=

BD

BP

，
∵BC=4，
∴CD=BD=2，
∴OP=1，OB=3，
∴BP=

OB2-OP2

=

32-12

=2

2

，
∴DE=

1×2

2 2

=

2

2

，
∴PE=DE=

2

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．