已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是邊BC的中點.以CD為直徑作⊙O,交邊AC于點P,連接BP,交AD于點E.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)如果PB是⊙O的切線,BC=4,求PE的長.
考點:切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)
專題:證明題
分析:(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC,點D是邊BC的中點得到AD⊥BC,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到AD是⊙O的切線;
(2)連結(jié)OP,由于AD是⊙O的切線,PB是⊙O的切線,根據(jù)切線長定理得PE=DE,根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥PE,易證得△BDE∽△BPO,則
DE
OP
=
BD
BP
,由于BC=4,得到CD=BD=2,則OP=1,OB=3,利用勾股定理計算出BP=
OB2-OP2
=2
2
,然后利用相似比可計算出DE=
2
2
,所以PE=
2
2
解答:(1)證明:∵AB=AC,點D是邊BC的中點,
∴AD⊥BC,
∴AD是⊙O的切線;

(2)解:連結(jié)OP,如圖,
∵AD是⊙O的切線,PB是⊙O的切線,
∴PE=DE,OP⊥PE,
∴∠BPO=90°,
∴∠BPO=∠ADB=90°,
而∠DBE=∠PBO,
∴△BDE∽△BPO,
DE
OP
=
BD
BP
,
∵BC=4,
∴CD=BD=2,
∴OP=1,OB=3,
∴BP=
OB2-OP2
=
32-12
=2
2
,
∴DE=
1×2
2
2
=
2
2
,
∴PE=DE=
2
2
點評:本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,⊙O上兩點C、E關(guān)于直徑AB對稱,連接AC、BC,過C作CE的垂線,交⊙O于點D,交EB的延長線交于點F,且BC:CA=
3
:1,AB=10,
(1)證明:B是EF的中點;
(2)求CF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C,聯(lián)結(jié)AO并延長交⊙O于點E,聯(lián)結(jié)EC.已知AB=8,CD=2.
(1)求OA的長度;
(2)求CE的長度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

九年級1班的同學(xué)為了了解教學(xué)樓前一棵樹生長情況,去年在教學(xué)樓前點A處測得樹頂點C的仰角為30°,樹高5米,今年他們?nèi)栽谠谹處測得大樹D的仰角為37°,問這棵樹一年生長了多少米?(精確到0.01)
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,
3
≈1.732)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

今年植樹節(jié),某校組織師生開展植樹造林活動,為了了解全校1200名學(xué)生的植樹情況,隨機抽樣調(diào)查部分學(xué)生的植樹情況,制成如下統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖(均不完整).
植樹數(shù)量(棵) 頻數(shù) 頻率
3 5 0.1
4 20
5 0.3
6 10 0.2
合計 1
(1)將統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)求所抽樣的學(xué)生植樹數(shù)量的平均數(shù);
(3)若植樹數(shù)量不少于5棵的記為“表現(xiàn)優(yōu)秀”,試根據(jù)抽樣數(shù)據(jù),估計該校1200名學(xué)生“表現(xiàn)優(yōu)秀”的人數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC和△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,DC=EC,且點A在CD上,連接AE、BD.
(1)求證:AE=BD;
(2)若AB=CD,將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周,當以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解不等式組,并求出其最小整數(shù)解:
x-3
2
+3≥x
1-3(x-1)<8-x

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,等腰梯形ABCD的底邊AD在x軸上,頂點C在y軸正半軸上,B(4,2),一次函數(shù)y=kx-1的圖象平分它的面積.若關(guān)于x的函數(shù)y=mx2-(3m+k)x+2m+k的圖象與坐標軸只有兩個交點,則m的值為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在梯形ABCD中,BC∥AD,EF∥BC交AB于E,CD于F,P、Q分別為邊AD和BC上的動點.若∠FAD=30°,AF=4
3
,點B的坐標為(3,5),則四邊形PFQE的面積為
 

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