Question

如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且滿足（a+b）²+|a-b+6|=0，線段AB交y軸于F點．
（1）求點A、B的坐標．
（2）點D為y軸正半軸上一點，若ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，如圖2，求∠AMD的度數(shù)．
（3）如圖3，（也可以利用圖1）
①求點F的坐標；
②點P為坐標軸上一點，若△ABP的三角形和△ABC的面積相等？若存在，求出P點坐標．

Answer 1

考點：坐標與圖形性質(zhì),平行線的性質(zhì),三角形的面積

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得a+b=0，a-b+6=0，然后解方程組求出a和b即可得到點A和B的坐標；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB=180°，意義∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，所以∠ODE+90°-∠FAO=180°，再根據(jù)角平分線定義得∠OAN=

1

2

∠FAO，∠NDM=

1

2

∠ODE，則∠NDM-∠OAN=45°，接著利用∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，得到∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，所以∠NDM+∠DNM=135°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得180°-∠NMD=135°，所以∠NMD=45°；
（3）①連結(jié)OB，如圖3，
設(shè)F（0，t），根據(jù)△AOF的面積+△BOF的面積=△AOB的面積得到

1

2

•3•t+

1

2

•t•3=

1

2

•3•3，解得t=

3

2

，則可得到F點坐標為（0，

3

2

）；
②先計算△ABC的面積=

21

2

，分類討論：當P點在y軸上時，設(shè)P（0，y），利用△ABP的三角形=△APF的面積+△BPF的面積得到

1

2

•|y-

3

2

|•3+

1

2

•|y-

3

2

|•3=

21

2

，解得y=10或y=-2，所以此時P點坐標為（0，5）或（0，-2）；當P點在x軸上時，設(shè)P（x，0），根據(jù)三角形面積公式得

1

2

•|x+3|•3=

21

2

，解得x=-10或x=4，所以此時P點坐標為（-10，0）或（4，0）．

解答：解：（1）∵（a+b）²+|a-b+6|=0，
∴a+b=0，a-b+6=0，
∴a=-3，b=3，
∴A（-3，0），B（3，3）；
（2）如圖2，
∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB=180°，
而∠DFB=∠AFO=90°-∠FAO，
∴∠ODE+90°-∠FAO=180°，
∵AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN=

1

2

∠FAO，∠NDM=

1

2

∠ODE，
∴∠NDM-∠OAN=45°，
而∠OAN=90°-∠ANO=90°-∠DNM，
∴∠NDM-（90°-∠DNM）=45°，
∴∠NDM+∠DNM=135°，
∴180°-∠NMD=135°，
∴∠NMD=45°，
即∠AMD=45°；
（3）①連結(jié)OB，如圖3，
設(shè)F（0，t），
∵△AOF的面積+△BOF的面積=△AOB的面積，
∴

1

2

•3•t+

1

2

•t•3=

1

2

•3•3，解得t=

3

2

，
∴F點坐標為（0，

3

2

）；
②存在．
△ABC的面積=

1

2

•7•3=

21

2

，
當P點在y軸上時，設(shè)P（0，y），
∵△ABP的三角形=△APF的面積+△BPF的面積，
∴

1

2

•|y-

3

2

|•3+

1

2

•|y-

3

2

|•3=

21

2

，解得y=10或y=-2，
∴此時P點坐標為（0，5）或（0，-2）；
當P點在x軸上時，設(shè)P（x，0），
則

1

2

•|x+3|•3=

21

2

，解得x=-10或x=4，
∴此時P點坐標為（-10，0）或（4，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（0，5）；（0，-2）；（4，0）；（-10，0）．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)：利用點的坐標求相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關(guān)系；也考查了三角形面積公式和平行線的性質(zhì)．