Question

探究問題
（1）方法感悟：
一班同學到野外上數(shù)學活動課，為測量池塘兩端A、B的距離，設計了如下方案：
方案（Ⅰ）如圖1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；感悟解題方法，并完成下列填空：
解：在如圖所示的兩個三角形△DEC和△ABC中：DC=AC，∠______=∠______（對頂角相等），EC=BC，∴△DEC≌△ABC______，∴DE=AB（全等三角形對應邊相等），即DE的距離即為AB的長．
（2）方法遷移：
方案（Ⅱ）如圖2，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點使BC=CD，接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離．請你說明理由．　
（3）問題拓展：
方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是______；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否成立？______．

Answer 1

解：（1）在如圖所示的兩個三角形△DEC和△ABC中：DC=AC，∠ACB=∠DCE（對頂角相等），EC=BC，∴△DEC≌△ABC （SAS），∴DE=AB（全等三角形對應邊相等），即DE的距離即為AB的長．

（2）∵AB⊥BF，ED⊥FB，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴AB=ED；

（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用AAS證明△ABC≌△EDC，則也可得到AB=ED．
分析：（1）根據(jù)題目中的條件，再加上對頂角∠ACB=∠DCE，可以利用SAS證明△DEC≌△ABC，進而得到ED=AB；
（2）根據(jù)垂直可得∠ABC=∠EDC=90°，再加上對頂角∠BCA=∠DCE，BC=CD可以利用AAS證明△ABC≌△EDC，再根據(jù)全等三角形的性質可得AB=ED；
（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是得∠ABC=∠EDC=90°，如果得∠ABC=∠EDC≠90°，仍可以證明△ABC≌△EDC，則也可得到AB=ED．
點評：此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是掌握全等三角形的判定與性質，證明三角形的全等是證明線段相等的一種重要方法．