Question

如圖，PA是⊙O的割線，且經(jīng)過(guò)圓心O，與⊙O交于B、A兩點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D，AC是⊙O的一條弦，連結(jié)PC，且PC=PD．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若AC=PD，連結(jié)BC．求證：AB=2BC

 

Answer 1

【答案】

（1）連結(jié)OC、OD

在△POC和△POD中，∵OC=OD，PC=PD，PO=PO， ∴△POC≌△POD

∴∠ODP=∠OCP.

∵PD是⊙O的切線，∴∠ODP=90°，∴∠OCP=90°.

∴PC是⊙O的切線.

（2）∵PC、PD是⊙O的兩條切線，

∴PC=PD，

又∵AC=PD

∴AC=PC.

 ∴∠A=∠CPA

設(shè)∠A=x，則∠COP=2x，∠CPA=x.在Rt△POC中，2x+x+90°=180°，

∴x=30°.即∠A=30°.

又∵△ABC是Rt△，

∴AB=2BC

【解析】（1）要證PC是⊙O的切線，只要連接OC，OD，通過(guò)證明△OCP≌△ODP得出∠OCP=90°即可．

（2）利用直角三角形POC內(nèi)角和為180°算出∠CPA的度數(shù)，從而得出∠A的度數(shù)，再根據(jù)Rt△ABC的邊角關(guān)系得出結(jié)論。