Question

7．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+2x與x軸相交于點B、O，點A是拋物線的頂點，連接AB，把AB所在的直線平移，使它經(jīng)過原點O，得到直線l．已知點P是直線l上的一點，且它在x軸的上方．設(shè)以點A、B、O、P為頂點的四邊形面積為S，點P的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)12≤S≤18時，t的取值范圍是-3≤t≤-1．

Answer 1

分析 如圖所示：連接OA．令y=0得：-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+2x=0，從而可求得點B的坐標(biāo)為（6，0），由拋物線的對稱性可知點A的橫坐標(biāo)為3，將x=3代入可求得點A的坐標(biāo)為（3，3）．利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=-x+3，從而得到直線OP的解析式為y=-x，依據(jù)各點的坐標(biāo)求得OP=-$\sqrt{2}t$，AB=3$\sqrt{2}$，OA=3$\sqrt{2}$，最后依據(jù)四邊形的面積的取值范圍列不等式組求解即可

解答 解：如圖所示：連接OA．

令y=0得：-$\frac{1}{3}{x}^{2}$+2x=0，
解得：x₁=0，x₂=6．
∴點B的坐標(biāo)為（6，0）．
∴點A的橫坐標(biāo)為3．
將x=3代入得：y=3．
∴點A的坐標(biāo)為（3，3）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點A、B的坐標(biāo)代入直線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=3}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∵直線OP∥AB，
∴直線OP的解析式為y=-x．
∵DA=DO=DB，
∴∠OAB=90°．
∵運動時間為t，
∴OP=$\sqrt{2}$t．
∴S_ABOP=$\frac{1}{2}（PO+AB）OA$，即12≤$\frac{1}{2}×（-\sqrt{2}t+3\sqrt{2}）×3\sqrt{2}$≤18．
解得：-3≤t≤-1．
故答案為：-3≤t≤-1．

點評 本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，根據(jù)題意列出關(guān)于四邊形面積的不等式組是解題的關(guān)鍵．