Question

15．在△ABC中，∠A=2∠B，AC=4，BC=6，D為射線BA上一點(diǎn)，D到直線AC，BC的距離相等，則AD=2或10．

Answer 1

分析 分D在線段AB上和D在線段BA的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別構(gòu)造三角形全等，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，可求得答案．

解答 解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，如圖1，

在CB上取點(diǎn)E，使CE=CA，
∵D到AC和BC的距離相等，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴CE=AC=4，AD=DE，∠A=∠CED=2∠B，
又∠CED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=ED，
∴AD=BE=BC-CE=6-4=2；
②當(dāng)點(diǎn)D不在線段AB上時(shí)，在圖1的基礎(chǔ)上，在射線BA上取點(diǎn)D′，連接CD′，在線段AD′上取點(diǎn)H，使AC=AH，

則∠CAB=2∠CHA=2∠B，
∴∠B=∠CHA，
∴CH=CB=6，且AD=2，
又CD′平分∠FCA，
∴∠D′CD=90°，
∵∠HCD=∠HCA+∠ACD=∠CHA+∠DCB=∠B+∠DCB=∠HDC，
∴HD=HC=6，
∵∠HDC+∠HD′C=90°，
∴∠HD′C=∠HCD′，
∴HD′=HC=6，
∴AD′=AH+HD′=4+6=10，
綜上可知AD的長(zhǎng)為2或10，
故答案為：2或10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查角平分線的判定和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握到角兩邊的距離的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論．