Question

15．在△ABC中（AC＞AB），∠A=30°，AB=2，P、Q分別為AC、AB上的點，求PB+PQ的最小值．

Answer 1

分析 在AB上取點Q，作點Q′與點Q關(guān)于AC對稱．由軸對稱圖形的性質(zhì)可知PB+PQ=PB+PQ′=Q′B，由垂線段最短可知當(dāng)Q′B⊥AQ′時，Q′B有最小值，最后利用特殊銳角三角函數(shù)求得Q′B的最小值即可．

解答 解：如圖所示：在AB上取點Q，作點Q′與點Q關(guān)于AC對稱．

∵點Q′與點Q關(guān)于AC對稱，
∴∠Q′AC=∠CAB=30°，QP=Q′P．
∴∠Q′AB=60°，PB+PQ=PB+PQ′=Q′B．
由垂線段最短可知：當(dāng)Q′B⊥AQ′時，Q′B有最小值，Q′B的最小值=sin60°•AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$．
∴PB+PQ的最小值為$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，明確當(dāng)Q′B⊥AQ′時，Q′B有最小值是解題的關(guān)鍵．