Question

如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點，G是AF上任意的一點，D在BG延長線上，且AD=AC，AE平分∠CAD交BD于E．
（1）∠AEB的度數(shù)；
（2）如圖，若BG=DE，求

AF

DE

的值．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出∠3+∠D+∠BAD=180°，進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠4=∠AEB=60°，進(jìn)而求出DE=BG=2GF，AG=BG=2GF，即可得出答案．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AC，
∴AB=AD，
∴∠3=∠D，
∵AE平分∠CAD，
∴∠1=∠2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
設(shè)∠3=∠D=x°，∠1=∠2=y°，
∵∠3+∠D+∠BAD=180°，
∴x+x+60+2y=180，
∴x+y=60，
∴∠AEB=∠1+∠D=x+y=60°；

（2）∵BG=DE，
∴BE=DG，
在△ABE和△ADG中，

AB=AD ∠3=∠D BE=DG

，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠4=∠AEB=60°，
∵△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是BC中點，
∴∠AFB=90°，∠7=30°，
∵∠6=90°-∠5=30°，
∴DE=BG=2GF，
∵∠3=60°-∠6=30°=∠7，
∴AG=BG=2GF，
∴AF=AG+GF=3FG，
∴

AF

DE

=

3GF

2GF

=

3

2

．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，將AF，DE用FG表示得出是解題關(guān)鍵．