Question

如圖，拋物線y=﹣x²+x+2與x軸交于C．A兩點，與y軸交于點B，OB=4．點O關于直線AB的對稱點為D，E為線段AB的中點．
（1）分別求出點A．點B的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若反比例函數(shù)y=的圖象過點D，求k值；
（4）兩動點P、Q同時從點A出發(fā)，分別沿AB．AO方向向B．O移動，點P每秒移動1個單位，點Q每秒移動個單位，設△POQ的面積為S，移動時間為t，問：S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，即﹣x²+ x+2=0；
解得 x₁=﹣ ，x₂=2 ．
∴C（﹣ ，0）、A（2 ，0）．令x=0，即y=2，
∴B（0，2）．綜上，A（2 ，0）、B（0，2）．
（2）令AB方程為y=k₁x+2因為點A（2 ，0）在直線上，
∴0=k₁2 +2
∴k₁=﹣ 
∴直線AB的解析式為y=﹣ x+2．
（3）由A（2 ，0）、B（0，2）得：OA=2 ，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°； OD與O點關于AB對稱
∴OD=OA=2 
∴D點的橫坐標為 ，縱坐標為3，即D（ ，3）．
因為y= 過點D，
∴3= ，
∴k=3 ．
（4）AP=t，AQ= t，P到x軸的距離：AP·sin30°= t，OQ=OA﹣AQ=2 ﹣ t；
∴S△OPQ= ·（2 ﹣ t）· t=﹣ （t﹣2 ）2+ ；
依題意， 得0＜t≤4
∴當t=2 時，S有最大值為 ．