Question

4．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AB=4，點(diǎn)D是AC邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），EF垂直平分BD，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，設(shè)CD=x，AE=y．
（1）求∠EDF的度數(shù)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)EH=1時(shí)，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）易證△BEF≌△DEF，則有∠EDF=∠EBF=60°，由∠A=∠C=∠EDF=60°即可得到結(jié)論；
（2）由△AED∽△CDF可得DF=DF=$\frac{4x-xy}{y}$，CF=$\frac{4x-{x}^{2}}{y}$，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解決問題；
（3）在Rt△AHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，運(yùn)用三角函數(shù)可求得y=3-$\frac{1}{2}$x，從而有$\frac{8-{x}^{2}}{4+x}$=3-$\frac{1}{2}$x，解這個(gè)方程就可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，

∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，F(xiàn)B=FD．
在△BEF和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DE}\\{BF=FD}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DEF（SSS），
∴∠EBF=∠EDF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∴∠EDF=60°；

（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AB=4．
∵CD=x，AE=y，
∴AD=4-x，ED=EB=4-y．
∵△AED∽△CDF，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{AD}{CF}$=$\frac{AE}{CD}$，
∴$\frac{4-y}{DF}$=$\frac{4-y}{CF}$=$\frac{y}{x}$，
∴DF=$\frac{4x-xy}{y}$，CF=$\frac{4x-{x}^{2}}{y}$，
∵DF+CF=BF+CF=BC=4，
∴$\frac{4-xy}{y}$+$\frac{4x-{x}^{2}}{y}$=4，
整理得：y=$\frac{8x-{x}^{2}}{4+x}$（0＜x＜4）；

（3）如圖2，

①H在線段AE上時(shí)，在Rt△AHD中，
∵AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，∠A=60°，
∴cosA=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{y-1}{4-x}$=$\frac{1}{2}$，
∴y=3-$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{8-{x}^{2}}{4+x}$=3-$\frac{1}{2}$x，
整理得：x²-14x+24=0，
解得：x₁=2，x₂=12，
∵0＜x＜4，
∴x=2，
②當(dāng)H在線段BE上時(shí)，同理可求得x=9-$\sqrt{73}$
即CD的長為2或9-$\sqrt{73}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、解一元二次方程等知識，證到∠EDF=60°是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出DF和CF（用x、y的代數(shù)式表示）并利用DF+CF=4是解決第（2）小題的關(guān)鍵，在Rt△AHD中運(yùn)用三角函數(shù)得到y(tǒng)與x的另一個(gè)關(guān)系是解決第（3）小題的關(guān)鍵．