Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，拋物線y=ax²+4ax+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知點A、C的坐標分別為（-8，0）、（0，4）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）經(jīng)過點C的直線y=3x+c與x軸交于點D，若動點P從B點出發(fā)沿線段BA以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C點出發(fā)沿線段CA勻速運動，問是否存在某一時刻，使點P與點Q關(guān)于直線CD對稱？若存在，請求出此時的時間t（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由？
（3）在（2）的結(jié)論下，作直線PQ，在直線PQ上方有一點M，連接PM、QM，線段PM與線段AC交于點N，若∠PMQ=90°且PN²=NQ×NA，請求出點M的坐標，并判斷點M是否存在（1）中的拋物線上．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知點的坐標利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）過點D作DL⊥AC，垂足為點L．連接PC、PQ，首先根據(jù)△ADL∽△ACO求得CL=4

5

-

4

3

5

=

8 5

3

=AL，然后根據(jù)△CPO∽△ACO求得CQ=PC=2

5

，進而求得t=PB=OB-OP=4-2=2，從而算出點Q的運動速度為

2 5

2

=

5

；
（3）首先根據(jù)△NPQ∽△NAP，得到

QM

PM

=

1

2

，然后過點M作直線l∥x軸，過點P、Q分別作PG⊥l、QH⊥l，垂足分別為點G、H．，進一步得到△QMH∽△MPG，從而求得點M的坐標為（-2，4），然后得到當x=-2時，y=-

1

8

×（-2）²-

1

2

×（-2）+4=

9

2

≠4，、判定點M不在（1）中的拋物線上．

解答：解：（1）依題意可得

4=a×(-8)2+4a×(-8)+c 4=a×02+4a×0+c

，
 解得

a=- 1 8 c=4

，
所求拋物線的解析式為y=-

1

8

x²-

1

2

x+4；

（2）如圖1，可求D（-

4

3

，0）
過點D作DL⊥AC，垂足為點L．連接PC、PQ．
∵∠DAL=∠CAO∠ALD=∠AOC=90°，
∴△ADL∽△ACO，
∴

DL

4

=

AL

8

=

20 3

4 5

，
∴DL=

4

3

5

，
∴AL=

8

3

5

，
∴CL=4

5

-

4

3

5

=

8 5

3

=AL，
∴∠DCL=45°，
∴∠ACP=2∠DCL=90°，
由△CPO∽△ACO可得OP=2PC=2

5

，
∴CQ=PC=2

5

，
∴t=PB=OB-OP=4-2=2，
∴點Q的運動速度為

2 5

2

=

5

；

（3）如圖2，由（2）可求 P（2，0），Q（-4，2），
∵PN2=NQ×NA，
∴

PN

NQ

=

NA

PN

，
又∵∠QNP=∠PNA，
∴△NPQ∽△NAP，
∴∠NPQ=∠NAP，
∴tan∠MPQ=tan∠CAO=

1

2

，
∴

QM

PM

=

1

2

，
過點M作直線l∥x軸，過點P、Q分別作PG⊥l、QH⊥l，垂足分別為點G、H．
∵∠QMH+∠PMG=90°，∠MPG+∠PMG=90°，
∴∠QMH=∠MPG，
 又∵∠QHM=∠PGM=90°，
∴△QMH∽△MPG，
∴

QH

MG

=

HM

PG

=

QM

PM

=

1

2

，
∴MG=2QH，PG=2HM，
設(shè)點M的坐標為（m，n），
∴

2-m=2(n-2) n=2(m+4)

，
 解得

m=-2 n=4

，
∴點M的坐標為（-2，4），
 當x=-2時，y=-

1

8

×（-2）²-

1

2

×（-2）+4=

9

2

≠4，
∴點M不在（1）中的拋物線上．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中多次用到相似，甚至一個小題中用到兩次相似，難度較大．