Question

在平面直角坐標系xoy中，邊長為的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．

⑴當∠BAO=45°時，求點P的坐標;

⑵求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；

⑶當B點坐標為（0,1）時，求CD的解析式。

 

Answer 1

【答案】

⑴P（，）⑵證明見解析⑶

【解析】⑴P（，）

    ⑵過點P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，

         則有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，

         ∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，

         ∴△PAM≌△PBN，

         ∴PM=PN，于是，點P都在∠AOB的平分線上；

    ⑶

本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BP的長，再由∠BAO=45°判斷出四邊形OAPB是正方形，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）作DE⊥x軸于E，設(shè)A點坐標為（m，0），B點坐標為（0，n），由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D點坐標，再根據(jù)P是線段BD的中點即可得出P點坐標，進而可得出結(jié)論．

⑶求出AB的解析式,即可求得CD的解析式