Question

如圖1，點(diǎn)A是直線y=kx（k＞0，且k為常數(shù)）上一動點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-h）²+m交直線y=kx于另一點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)B，交直線EF于點(diǎn)C．（點(diǎn)A，E，F(xiàn)兩兩不重合）
（1）請寫出h與m之間的關(guān)系；（用含的k式子表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到使EF與x軸平行時（如圖2），求線段AC與OF的比值；
（3）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到使點(diǎn)F的位置最低時（如圖3），求線段AC與OF的比值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線頂點(diǎn)（h，m）在直線y=kx上，
∴m=kh；

（2）方法一：解方程組，
將（2）代入（1）得到：（x-h）²+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x₁=h，x₂=k+h，
代入到方程（2）y₁=hy₂=k²+hk，
所以點(diǎn)E坐標(biāo)是（k+h，k²+hk），
當(dāng)x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)是（0，h²+kh），
當(dāng)EF和x軸平行時，點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)相等，
即k²+kh=h²+kh，
解得：h=k（h=-k舍去，否則E，F(xiàn)，O重合），
此時點(diǎn)E（2k，2k²），F(xiàn)（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．
方法二：當(dāng)x=0時，y=（x-h）²+m=h²+kh，即F（0，h²+kh），
當(dāng)EF和x軸平行時，點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)相等，
即點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為h²+kh，
當(dāng)y=h²+kh時，代入y=（x-h）²+kh，
解得x=2h（0舍去，否則E，F(xiàn)，O重合），
即點(diǎn)E坐標(biāo)為（2h，h²+kh），
將此點(diǎn)橫縱坐標(biāo)代入y=kx得到h=k（h=0舍去，否則點(diǎn)E，F(xiàn)，O重合），
此時點(diǎn)E（2k，2k²），F(xiàn)（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²），
∴AC：OF=k²：2k²=1：2．
方法三：∵EF與x軸平行，
根據(jù)拋物線對稱性得到FC=EC，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=EC：EF=1：2．

（3）當(dāng)點(diǎn)F的位置處于最低時，其縱坐標(biāo)h²+kh最小，
∵h(yuǎn)²+kh=[h²+kh+（）²]-，
當(dāng)h=，點(diǎn)F的位置最低，此時F（0，-），
解方程組
得E（，），A（-，-）．
方法一：設(shè)直線EF的解析式為y=px+q，
將點(diǎn)E（，），F(xiàn)（0，-）的橫縱坐標(biāo)分別代入得，
解得：p=，q=-，
∴直線EF的解析式為y=x-，
當(dāng)x=-時，y=-k²，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，-k²），
∵點(diǎn)A（-，-），
∴AC=，而OF=，
∴AC=2OF，即AC：OF=2．
方法二：∵E（，），A（-，-），
∴點(diǎn)A，E關(guān)于點(diǎn)O對稱，
∴AO=OE，
∵AC∥FO，
∴∠ECA=∠EFO，∠FOE=∠CAE，
∴△OFE∽△ACE，
∴AC：OF=AE：OE=2：1．
分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A在直線y=kx上，即可得出h，m的關(guān)系式．
（2）當(dāng)EF∥x軸時，根據(jù)拋物線的對稱性可知：FC=CE即C是EF的中點(diǎn)，那么AC就是三角形OEF的中位線，因此AC=OF．
（也可通過聯(lián)立直線OA的解析式和拋物線的解析式得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)EF∥x軸時，E、F縱坐標(biāo)相同，以此來求出h，k的關(guān)系，進(jìn)而表示出A、C、E、F四點(diǎn)坐標(biāo)以此來求出AC與OF的比例關(guān)系）．
（3）先求出F到最低位置時，函數(shù)的解析式（F位置最低時，縱坐標(biāo)值最小）．聯(lián)立兩函數(shù)的解析式求出A、E的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形OEF和AEC求出OF，AC的比例關(guān)系．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)、相似三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．