Question

4．如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD的中點，連接BF、CE交于點H，連接HD，過B點作BG平行HD，已知△HFD的面積是2016平方厘米，求陰影四邊形BGDH的面積？

Answer 1

分析 如延長FE交CB的延長線于M，連接BD交CE于N，先證明$\frac{BH}{BF}=\frac{BN}{EF}=\frac{BN}{EF}=\frac{CB}{CM}=\frac{2}{3}$，求出△BHD面積，再證明△BEG∽△DCH，得BG：HD=EB：CD=1：2，得到S_△BGH：S_△HDG=1：2，由此可以解決問題．

解答 解：如圖延長FE交CB的延長線于M，連接BD交CE于N．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠M=∠AFE，
在△MEB和△FEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠AFE}\\{BE=AE}\\{∠MEB=∠AEF}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△FEA，
∴BM=AM，ME=EF，
∵AF=FD，AE=EB，
∴EF∥BD，
∴$\frac{BN}{EF}=\frac{BH}{FH}=\frac{BN}{MF}=\frac{CB}{CM}=\frac{2}{3}$，
∴${S}_{△BHD}=\frac{2}{3}$×2016=1344，
∵BG∥HD，
∴∠BGE=∠CHD，S_△BHD=S_△HDG，
∵∠BEG=∠DCH，
∴△BEG∽△DCH，
∴BG：HD=EB：CD=1：2，
∴S_△BGH：S_△HDG=1：2，
∴S_△BHG=672，
∴S_陰=S_△BHG+S_△HGD=672+1344=2016．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線求出相應(yīng)線段的比，題目比較難，綜合性強．