Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（1）求證：不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）k為何值，方程的兩根之積等于6．
（3）若△ABC的兩邊AB，AC的長度是該方程的兩個(gè)根，第三邊BC=5，問：k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求出此時(shí)△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=1，然后根據(jù)判別式的意義得到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到k²+3k+2=6，然后解關(guān)于k的一元二次方程；
（3）由于方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AB=BC=5時(shí)，把x=5代入x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0得25-5（2k+3）+k²+3k+2=0，解得k₁=3，k₂=4，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到當(dāng)k=3時(shí)，△ABC的周長=5+2k+3=14；當(dāng)k=4時(shí)，△ABC的周長=5+2k+3=16．

解答：（1）證明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△=1＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得k²+3k+2=6，解得k₁=1，k₂=-4；
（3）解：由于AB≠AC，則AB=BC=5時(shí)，把x=5代入x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0得25-5（2k+3）+k²+3k+2=0，解得k₁=3，k₂=4，
當(dāng)k=3時(shí)，△ABC的周長=5+2k+3=5+6+3=14；當(dāng)k=4時(shí)，△ABC的周長=5+2k+3=5+8+3=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．