Question

如圖，已知直線y=-x+2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，另已知直線y=kx+b（k≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0），且把△AOB分成兩部分．
（1）若△AOB被分成的兩部分面積相等，求k和b的值；
（2）若△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，求k和b的值．

Answer 1

分析：（1）△AOB被分成的兩部分面積相等，那么被分成的兩部分都應(yīng)該是三角形AOB的面積的一半，那么直線y=kx+b（k≠0）必過(guò)B點(diǎn)，因此根據(jù)B，C兩點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式可得出，直線的函數(shù)式．
（2）若△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，那么被分成的兩部分中小三角形的面積就應(yīng)該是大三角形面積的

1

6

，已知了直線過(guò)C點(diǎn)，那么小三角形的底邊是大三角形的OB邊的一半，那么小三角形的高應(yīng)該是OA的

1

3

，即直線經(jīng)過(guò)的這點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)該是

1

3

．那么這點(diǎn)應(yīng)該在y軸和AB上，可分這兩種情況進(jìn)行計(jì)算，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）由題意知：直線y=kx+b（k≠0）必過(guò)C點(diǎn)，
∵C是OA的中點(diǎn)，
∴直線y=kx+b一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，把B，C的坐標(biāo)代入可得：

b=2 k+b=0

，
解得k=-2，b=2；

（2）∵S_△AOB=

1

2

×2×2=2，
∵△AOB被分成的兩部分面積比為1：5，那么直線y=kx+b（k≠0）與y軸或AB交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就應(yīng)該是：2×2×

1

6

=

2

3

，
當(dāng)y=kx+b（k≠0）與直線y=-x+2相交時(shí)：
當(dāng)y=

2

3

時(shí)，直線y=-x+2與y=kx+b（k≠0）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就應(yīng)該是-x+2=

2

3

，
∴x=

4

3

，
即交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4

3

，

2

3

），
又根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），可得：

4 3 k+b= 2 3 k+b=0

，
∴

k=2 b=-2

，
當(dāng)y=kx+b（k≠0）與y軸相交時(shí)，交點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)該是（0，

2

3

），又有C點(diǎn)的坐標(biāo)（1，0），可得：

k+b=0 b= 2 3

，
∴

k=- 2 3 b= 2 3

，
因此：k=2，b=-2或k=-

2

3

，b=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是弄清楚三角形AOB被分成兩部分的面積比不同時(shí)，所求直線與y軸和已知直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是多少．