Question

如圖1，已知O是銳角∠XAY的邊AX上的動點，以點O為圓心、R為半徑的圓與射線AY切于點B，交射線OX于點C，連接BC，作CD⊥BC，交AY于點D．
（1）求證：△ABC∽△ACD；
（2）若P是AY上一點，AP=4，且sinA=

3

5

，
①如圖2，當點D與點P重合時，求R的值；
②當點D與點P不重合時，試求PD的長（用R表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABO=90°，易證∠ABC=∠ACD，從而根據(jù)兩個角對應(yīng)相等得到兩個三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形得到對應(yīng)邊的比相等，再結(jié)合銳角三角函數(shù)的概念，把AD用R表示，①根據(jù)AD=AP求得R的值；②應(yīng)分兩種情況討論，點D可能在點P的左側(cè)或右側(cè)．

解答：（1）證明：由已知，CD⊥BC，
∴∠ADC=90°-∠CBD．
又∵⊙O切AY于點B，
∴OB⊥AB．
∴∠OBC=90°-∠CBD．
∴∠ADC=∠OBC．
又在⊙O中，OB=OC=R，
∴∠OBC=∠ACB．
∴∠ACB=∠ADC．
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．

（2）解：由已知，sinA=

3

5

，
又OB=OC=R，OB⊥AB，
∴在Rt△AOB中，AO=

OB

sinA

=

R

3 5

=

5

3

R，AB=

( 5 3 R)2-R2

=

4

3

R．
∴AC=

5

3

R+R=

8

3

R．
由（1）已證，△ABC∽△ACD，
∴

AC

AB

=

AD

AC

．
∴

8 3 R

4 3 R

=

AD

8 3 R

．
因此AD=

16

3

R．
①當點D與點P重合時，AD=AP=4，
∴

16

3

R=4．
∴R=

3

4

．
②當點D與點P不重合時，有以下兩種可能：
（i）若點D在線段AP上（即0＜R＜

3

4

），PD=AP-AD=4-

16

3

R，
（ii）若點D在射線PY上（即R＞

3

4

），PD=AD-AP=

16

3

R-4，
綜上，當點D在線段AP上（即0＜R＜

3

4

）時，PD=4-

16

3

R，
當點D在射線PY上（即R＞

3

4

）時，PD=

16

3

R-4，
又當點D與點P重合（即R=

3

4

）時，PD=0，故在題設(shè)條件下，總有PD=|

16

3

R-4|（R＞0）．

點評：此題要能夠熟練運用切線的性質(zhì)定理、相似三角形的性質(zhì)和判定．