Question

5．如圖，在直角坐標系中，長方形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（2，6），將長方形沿對角線AC翻折，點B落在點D的位置，且AD交y軸于點E，則點D的坐標為（-$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

Answer 1

分析 過D作DF⊥AF于F，根據折疊可以證明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性質得到OE=DE，OA=CD=2，設OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的長度，利用已知條件可以證明△AEO∽△ADF，而AD=AB=6，利用相似三角形的性質求出DF、AF的長度，即可得出結果．

解答 解：如圖，過D作DF⊥AF于F，
∵點B的坐標為（2，6），
∴AO=2，AB=6，
根據折疊可知：CD=AO=2，
在△CDE和△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠AOE=90°}&{\;}\\{∠DEC=∠OEA}&{\;}\\{CD=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△AOE（AAS），
∴OE=DE，
設OE=x，則CE=6-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（6-x）²=x²+2²，
∴x=$\frac{8}{3}$，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∵AD=AB=6，
∴AE=CE=6-$\frac{8}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EO}{DF}$=$\frac{OA}{AF}$，
即$\frac{\frac{10}{3}}{6}=\frac{\frac{8}{3}}{DF}=\frac{2}{AF}$，
解得：DF=$\frac{24}{5}$，AF=$\frac{18}{5}$，
∴OF=$\frac{18}{5}$-2=$\frac{8}{5}$，
∴D的坐標為（-$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$）；
故答案為：（-$\frac{8}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

點評 此題主要考查了圖形的折疊問題、坐標與圖形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質；解題的關鍵是把握折疊的隱含條件，利用隱含條件得到全等三角形和相似三角形是解決問題的關鍵．