Question

如圖：平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BCD的平分線交AD于F，且AB=3，DE=2，
（1）求平行四邊形ABCD的周長．  
（2）求證：BE⊥CF               
（3）若CF=2，求BE的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，可得△ABE是等腰三角形，即可求得AD的長，繼而求得答案；
（2）由平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BCD的平分線交AD于F，易證得∠CBE+∠BCF=90°，繼而證得結(jié)論；
（3）首先過點E作EN∥CF，交BC的延長線于點N，然后由勾股定理求得BE的長．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴AD=AE+DE=3+2=5，
∴平行四邊形ABCD的周長為：2（AB+AD）=2×（3+5）=16；

（2）證明：設(shè)BE與CF交于點M，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC，∠BCF=

1

2

∠BCD，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BMC=90°，
即BE⊥CF；

（3）解：過點E作EN∥CF，交BC的延長線于點N，
∵AD∥BC，
∴四邊形EFCN是平行四邊形，
∴CN=EF，EN=CF=2，
∵AB=AE=3，
同理：CD=DF=AB=3，
∴EF=AE+DF-AD=3+3-5=1，
∴CN=1，
∴BN=BC+CN=5+1=6，
在Rt△BEN中，BE=

BN2-EN2

=4

2

．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．