Question

已知點A、B、C是⊙O上三點，弧BC所對的圓周角和圓心角分別是∠BAC、∠BOC，問：∠BAC與∠BOC有何數(shù)量關(guān)系？請畫出符合題意的圖形，并寫出證明過程．

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：分類討論

分析：由于點O的位置不能確定，故應(yīng)分①圓心O在∠BAC的邊上；②圓心O在∠BAC的內(nèi)部；③圓心O在∠BAC的外部三種情況進行討論．

解答： 解：∠BOC=2∠BAC．
①如圖1，圓心O在∠BAC的邊上時，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠BOC=∠A+∠C=2∠BAC；
②如圖2，當(dāng)圓心在∠BAC的內(nèi)部時，連接AO并延長，
∵OA=OB=OC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠OAC，
∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD，
∴∠BOC=2∠BAC；
③如圖3所示，圓心O在∠BAC的外部時，
連接AO并延長交⊙O于點D，連接OB，OC，
∵由①得，∠COD=2∠CAD，∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOC=∠BOD-∠COD=2（∠BAD-∠CAD）=∠BAC．
綜合（1）（2）（3）可知，∠BOC=2∠BAC．

點評：本題考查的是圓周角定理，在解答此題時要進行分類討論，不要漏解．