Question

如圖，已知⊙O₁和⊙O₂外切于點A，直線BD切于⊙O₁點B，交⊙O₂于C、D，直線DA交于⊙O₁點E．
求證：①∠BAC=∠ABC+∠D；
②連接BE，你還能推出哪些結論．（不再標注其他字母，不再添加輔助線，不寫推理過程）寫出五條結論即可．

Answer 1

（1）證明：過點A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于點M，
∵CB切⊙O₁于點B，MN切⊙O₁于點A，
MA=MB，
∴∠ABC=∠BAM，
∵MN切⊙O₂于點A，
∴∠CAM=∠D，又∠BAC=∠BAM+∠CAM，
∴∠BAC=∠ABC+∠D；

（2）解：∠EAB=∠BAC，△ABC∽△AEB，∠ABC=E，∠ABE=∠ACB，AB2=AC•AE等．
分析：（1）可通過構建弦切角來求證．過點A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于點M，根據(jù)弦切角定理，我們可得出∠MCA=∠D，由于MA、MB都是圓O₁的切線，因此MB=MA，也就得出了∠MBA=∠MAB，也就得出了所證的結論；
（2）連接BE后，根據(jù)弦切角定理，∠ABC=∠E，由于∠MAB=∠ABC+∠D，根據(jù)（1）的結論，∠MAB=∠BAC，因此三角形EBA∽△BAC，因此可得出對應的角相等，對應的線段成比例．
點評：本題主要考查了切線的性質，弦切角定理，切線長定理等知識點．本題中通過構建切線根據(jù)弦切角和切線長定理來得出角相等是解題的關鍵．