Question

3．如圖所示，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)）與y軸交于C點(diǎn)，且OA：OC=1：3，S_△ABC=6．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)D（點(diǎn)C除外），使S_△ABD=S_△ABC？若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)E（點(diǎn)B除外），使S_△ACE=S_△ABC？若存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積，可得AB的長，根據(jù)線段的和差，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行線間的距離相等，可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可得答案；
（3）根據(jù)平行線的一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)相等，可得BE的解析式，根據(jù)解方程組，可得E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即OC=3．
由OA：OC=1：3，
解得OA=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=6，
解得AB=4．-1+4=3，
即B（3，0）．
將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1：，
根據(jù)平行線間的距離相等，可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3或-3．
當(dāng)y=3時(shí)，-x²+2x+3=3，解得x=0（不符合題意，舍），x=2，
即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；
當(dāng)y=-3時(shí)，-x²+2x+3=-3．
解得x=1-$\sqrt{7}$，x=1+$\sqrt{7}$，
即D點(diǎn)坐標(biāo)為（1-$\sqrt{7}$，-3），（1+$\sqrt{7}$，-3）；
綜上所述：拋物線上存在一點(diǎn)D（點(diǎn)C除外），使S_△ABD=S_△ABC，D點(diǎn)坐標(biāo)（2，3），（1-$\sqrt{7}$，-3），D（1+$\sqrt{7}$，-3）；
（3）過點(diǎn)B作AC平行線，如圖2，
S_△ACE=S_△ABC，由平行線間的距離相等，得
設(shè)AC的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b，將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
函數(shù)解析式為y=3x+3，
由BE∥AC，設(shè)BE的解析式為y=3x+b，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
3×3+b=0．
解得b=-9，
即BE的解析式為y=3x-9，
聯(lián)立BE與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-9}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得x=-4，x=3（不符合題意，舍），
當(dāng)x=-4時(shí)，y=3×（-4）-9=-21，
即E（-4．-21）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用平行線間的距離相等得出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用平行線間的關(guān)系得出BE的解析式是解題關(guān)鍵．