Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（8，1），B（0，-3），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，N是線段AB上一動點（不與A、B重合），MN⊥x軸且與反比例函數(shù)的圖象交于M點．
（1）求△BMN面積的最大值；
（2）若MA⊥AB，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)和直線AB的解析式，利用t表示出M和N的縱坐標，則△MNB的面積即可利用t表示，即△BMN的面積是t的二次函數(shù)，即可得出面積的最大值；
（2）求出直線AM的解析式，由反比例函數(shù)解析式和直線AM的解析式組成方程組，解方程組求出M的坐標，把M的橫坐標代入直線AB的解析式即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=1×8=8，y=$\frac{8}{x}$，
設(shè)直線AB的解析式為：y=ax+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{8a+b=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-3；
設(shè)M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），
則MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3，
∴△BMN的面積S=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3）t=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴△BMN的面積S是t的二次函數(shù)，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴S有最大值，
當t=3時，△BMN的面積的最大值為$\frac{25}{4}$；
（2）∵MA⊥AB，
∴設(shè)直線MA的解析式為：y=-2x+c，
把點A（8，1）代入得：c=17，
∴直線AM的解析式為：y=-2x+17，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+17}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=16}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=1}\end{array}\right.$（舍去），
∴M的坐標為（$\frac{1}{2}$，16），
把x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{1}{2}$x-3得，y=-$\frac{11}{4}$
∴N（$\frac{1}{2}$，-$\frac{11}{4}$）．

點評 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題、垂線的性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性強．