Question

【題目】如圖，拋物線（）交直線：于點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，且過點(diǎn)，連接，.

（1）求此拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）存在， ，；（3）或或.

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化為頂點(diǎn)式可求得結(jié)果.

（2）先求出BC所在直線的解析式，設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形可分類討論，分為AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三種情況.

（3）分兩種情況討論，一是F在拋物線上方，過點(diǎn)作軸，可得FH=4，設(shè)，可得，求出n代入即可；二是F在拋物線下方，可得，求出n的值即可，最后的結(jié)果綜合兩個(gè)結(jié)果即可.

解：（1）

∵當(dāng)時(shí)，,

∴;

∴，;

二次函數(shù)過點(diǎn)、，設(shè);

∵過點(diǎn),

∴;

∴;

∴

;

∵,

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）存在.

設(shè)過、,

;

設(shè)解得：;

∴;

設(shè)、;

在中，解得;

①當(dāng)時(shí);

;

解得：（不合題意舍去），;

∴;

②當(dāng)時(shí);

;

解得：，（不合題意舍去）;

∴;

③當(dāng)時(shí);

;

解得：（不合題意舍去）;

∴，;

（3）當(dāng)在拋物線上方時(shí)，，時(shí);

過點(diǎn)作軸，與全等;

則;

設(shè);

則;

解得；，；

或;

當(dāng)在拋物線下方時(shí)，;

（不合題意舍去），;

∴;

∴或或.