Question

（1）如圖1，在凹四邊形ABCD中，∠BDC=135°，∠B=∠C=30°，則∠A=

 

°．
（2）如圖2，在凹四邊形ABCD中，∠ABD與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)E，∠A=60°，∠BDC=140°，則∠E=

 

°．
（3）如圖3，∠ABD，∠BAC的角平分線交于點(diǎn)E，∠C=40°，∠BDC=150°，求∠AEB的度數(shù)．
（4）如圖4，∠BAC，∠BDC的角平分線交于點(diǎn)E，猜想∠B，∠C與∠E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）連接AD并延長(zhǎng)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接BC，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)∠BDC=140°求出∠DBC+∠DCB的度數(shù)，根據(jù)∠ABD與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)E求出∠EBD+∠ECD的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠E的度數(shù)；
（3）延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，根據(jù)∠BDC是△CDF的外角可求出∠CFD的度數(shù)，再根據(jù)∠CFD是△ABF的外角可得出∠BAC+∠ABD的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論；
（4）由（1）可知，∠BAC+∠B+∠C=∠BDC，再由角平分線的定義可知∠BAE=∠CAE=

1

2

∠BAC，∠BDE=∠CDE=

1

2

∠BDC，由∠1=∠B+∠BAE=∠B+

1

2

∠BAC即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接AD并延長(zhǎng)，
∵∠BDF是△ABD的外角，∠CDF是△ACD的外角，
∴∠BDF=∠B+∠BAD，∠CDF=∠C+∠CAD，
∴∠BDF+∠CDF=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD，即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC，
∵∠BDC=135°，∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=∠BDC-∠B-∠C=135°-30°-30°=75°．
故答案為：75；

（2）連接BC，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠BDC=140°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°，
∴∠ABD+∠ACD=120°-40°=80°，
∵∠ABD與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)E，
∴∠EBD+∠ECD=

1

2

×80°=40°，
∴∠EBC+∠ECB=40°+40°=80°，
∴∠E=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-80°=100°．
故答案為：100；

（3）延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，
∵∠BDC是△CDF的外角，∠C=40°，∠BDC=150°，
∴∠CFD=∠BDC-∠C=150°-40°=110°，
∵∠CFD是△ABF的外角，
∴∠BAC+∠ABD=∠CFD=110°，
∵∠ABD，∠BAC的角平分線交于點(diǎn)E，
∴∠BAE+∠ABE=

1

2

（∠BAC+∠ABD）=

1

2

×110°=55°，
∴∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE）=180°-55°=125°；

（4）由（1）可知，∠BAC+∠B+∠C=∠BDC，
∵∠BAC，∠BDC的角平分線交于點(diǎn)E，
∴∠BAE=∠CAE=

1

2

∠BAC，∠BDE=∠CDE=

1

2

∠BDC，
∵∠1=∠B+∠BAE=∠B+

1

2

∠BAC，
∴∠B+

1

2

∠BAC=∠E+

1

2

（∠BAC+∠B+∠C），即∠B-∠C=2∠E．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．