Question

在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)且與軸垂直,垂足為.
【小題1】求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
【小題2】設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng),其縱坐標(biāo)隨時(shí)間
≥)的變化規(guī)律為.現(xiàn)以線段為直徑作.
①當(dāng)點(diǎn)在起始位置點(diǎn)處時(shí),試判斷直線與的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,直線與是否始終保持這種位置關(guān)系? 請(qǐng)說(shuō)明你的理由；
②若在點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),直線也向上平行移動(dòng),且垂足的縱坐標(biāo)隨時(shí)間的變化規(guī)律為,則當(dāng)在什么范圍內(nèi)變化時(shí),直線與相交? 此時(shí),若直線被所截得的弦長(zhǎng)為,試求的最大值.

Answer 1

【小題1】將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得,解得,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為
【小題1】①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí),直線與相切,理由如下:
∵點(diǎn),∴圓心的坐標(biāo)為,∴的半徑為,
又拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,－1),即直線l上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為－1,從而圓心C到直線l的距離為,∴直線與相切. 
在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,直線與始終保持相切的位置關(guān)系,理由如下:
方法一: 設(shè)點(diǎn),則圓心的坐標(biāo)為,∴圓心C到直線l的距離為,又∵,∴,則的半徑為,
∴直線與始終相切.  
方法二: 設(shè)點(diǎn)≥1),則圓心的坐標(biāo)為,
∴的半徑為,
而圓心C到直線l的距離為,
∴直線與始終相切
②由①知,圓C的半徑為.
又∵圓心C的縱坐標(biāo)為,直線l上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以
(ⅰ)當(dāng)≥,即≤時(shí),圓心C到直線l的距離為
,則由,得,解得,
∴此時(shí)≤；
(ⅱ)當(dāng)＜,即＞時(shí),圓心C到直線l的距離為
,則由,得,解得,
∴此時(shí)＜； 
綜上所述,當(dāng)時(shí),直線與相交. 
(說(shuō)明: 若學(xué)生就寫(xiě)成≤或＜,得全分；若學(xué)生依據(jù)直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出后,就得,也給全分)
∵當(dāng)時(shí),圓心C到直線l的距離為,又半徑為,
∴,  
∴當(dāng)時(shí),取得最大值為.

解析【小題1】所求函數(shù)的解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)，直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．
【小題1】①由于OP是⊙C的直徑，根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可表示出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而能表示出C到直線l的距離；OP長(zhǎng)易得，然后通過(guò)比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關(guān)系．
②該題要分兩問(wèn)來(lái)答，首先看第一問(wèn)；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點(diǎn)C的位置關(guān)系（需要考慮到C到直線l的表達(dá)方式）．
在第二問(wèn)中，a²最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長(zhǎng)（為直徑），此時(shí)圓心C應(yīng)在直線l上，根據(jù)該思路即可得解．