Question

【題目】在中，，CD是中線，，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AE交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．

（1）如圖1，若，求證：；

（2）如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試證明恒成立；

（3）若，，求DN的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可的結(jié)論；
（2）證得△CDF∽△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即CD2＝CECF；

（3）如圖，過(guò)D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，當(dāng)CD＝2，時(shí)，求得，再推出△CEN∽△GDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求出GN，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵，，CD是中線，

∴，，

∴．

在與中，，

∴．

∴；

（2）證明：∵，

∴

∵，

∴．

∴．

∴，即．

（3）如圖，過(guò)D作于點(diǎn)G，

則，．

當(dāng)，時(shí)，

由，得．

在中，

．

∵，，

∴．

∴，

∴．

∴．