Question

菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC=4

3

，BD=4，動點P在線段BD上從點B向點D運動，PF⊥AB于點F，四邊形PFBG關(guān)于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對稱．設(shè)菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S₁，未被蓋住部分的面積為S₂，BP=x．
（1）用含x的代數(shù)式分別表示S₁，S₂；
（2）若S₁=S₂，求x的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,菱形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),軸對稱圖形,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題,壓軸題,動點型,分類討論

分析：（1）根據(jù)對稱性確定E、F、G、H都在菱形的邊上，由于點P在BO上與點P在OD上求S₁和S₂的方法不同，因此需分情況討論．
（2）由S₁=S₂和S₁+S₂=8

3

可以求出S₁=S₂=4

3

．然后在兩種情況下分別建立關(guān)于x的方程，解方程，結(jié)合不同情況下x的范圍確定x的值．

解答：解：（1）①當點P在BO上，0＜x≤2時，如圖1所示．
∵四邊形ABCD是菱形，AC=4

3

，BD=4，
∴AC⊥BD，BO=

1

2

BD=2，AO=

1

2

AC=2

3

，
且S_菱形ABCD=

1

2

BD•AC=8

3

．
∴tan∠ABO=

AO

BO

=

3

．
∴∠ABO=60°．
在Rt△BFP中，
∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，
∴sin∠FBP=

FP

BP

=

FP

x

=sin60°=

3

2

．
∴FP=

3

2

x．
∴BF=

x

2

．
∵四邊形PFBG關(guān)于BD對稱，
四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對稱，
∴S_△BFP=S_△BGP=S_△DEQ=S_△DHQ．
∴S₁=4S_△BFP
=4×

1

2

×

3

2

x•

x

2

=

3

2

x2．
∴S₂=8

3

-

3

2

x2．
②當點P在OD上，2＜x≤4時，如圖2所示．
∵AB=4，BF=

x

2

，
∴AF=AB-BF=4-

x

2

．
在Rt△AFM中，
∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4-

x

2

．
∴tan∠FAM=

FM

AF

=tan30°=

3

3

．
∴FM=

3

3

（4-

x

2

）．
∴S_△AFM=

1

2

AF•FM
=

1

2

（4-

x

2

）•

3

3

（4-

x

2

）
=

3

6

（4-

x

2

）²．
∵四邊形PFBG關(guān)于BD對稱，
四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對稱，
∴S_△AFM=S_△AEM=S_△CHN=S_△CGN．
∴S₂=4S_△AFM
=4×

3

6

（4-

x

2

）²
=

3

6

（x-8）²．
∴S₁=8

3

-S₂=8

3

-

3

6

（x-8）²．
綜上所述：
當0＜x≤2時，S₁=

3

2

x2，S₂=8

3

-

3

2

x2；
當2＜x≤4時，S₁=8

3

-

3

6

（x-8）²，S₂=

3

6

（x-8）²．

（2）①當點P在BO上時，0＜x≤2．
∵S₁=S₂，S₁+S₂=8

3

，
∴S₁=4

3

．
∴S₁=

3

2

x2=4

3

．
解得：x₁=2

2

，x₂=-2

2

．
∵2

2

＞2，-2

2

＜0，
∴當點P在BO上時，S₁=S₂的情況不存在．
②當點P在OD上時，2＜x≤4．
∵S₁=S₂，S₁+S₂=8

3

，
∴S₂=4

3

．
∴S₂=

3

6

（x-8）²=4

3

．
解得：x₁=8+2

6

，x₂=8-2

6

．
∵8+2

6

＞4，2＜8-2

6

＜4，
∴x=8-2

6

．
綜上所述：若S₁=S₂，則x的值為8-2

6

．

點評：本題考查了以菱形為背景的軸對稱及軸對稱圖形的相關(guān)知識，考查了菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，還考查了分類討論的思想．