Question

【題目】如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，把△ABD、△ACD分別以AB、AC為對稱軸翻折變換，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為E、F，延長EB、FC相交于G點(diǎn)．

（1）求證：四邊形AEGF是正方形；

（2）求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝6；

【解析】

（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE＝AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，求出AD＝x＝6．

（1）證明：由翻折的性質(zhì)可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，

∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，

∵∠BAC＝45°，

∴∠EAF＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，

∴四邊形AEGF為矩形，

∵AE＝AD，AF＝AD，

∴AE＝AF，

∴矩形AEGF是正方形；

（2）解：根據(jù)對稱的性質(zhì)可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，

設(shè)AD＝x，則正方形AEGF的邊長是x，

則BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，

在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，

解得：x＝6或x=﹣1（舍去）．

∴AD＝x＝6；