Question

如圖（1）正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不運動到點M，點C），以AB為直徑作⊙O，過點P作⊙O的切線交AD于點F，切點為E．
（1）求四邊形CDFP的周長；
（2）設BP=x，AF=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）延長DC，F(xiàn)P相交于點G，連接OE并延長交直線DC于H〔如圖（2）〕．問是否存在點P，使△EFO∽△EHG（其中△EFO頂點 E、F、O與△EHG頂點E、H、G為對應點）？如果存在，試求（2）中x和y的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切線，
又∵PF是⊙O的切線，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四邊形CDFP的周長為AD+DC+CB=6；

（2）如圖1，連接OE，∵PF是⊙O的切線
∴OE⊥PF
在Rt△AOF和Rt△EOF中，
∵AO=EO，OF=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△EOF，
∴∠AOF=∠EOF
同理∠BOP=∠EOP，
∴∠EOF+∠EOP=，
∵PF是⊙O的切線，
∴OE⊥PF，
∴Rt△EOF∽Rt△EPO
∴OE²=EP•EF，即OE²=PB•AF，即1²=x•y，
∴y=，自變量x的取值范圍是1＜x＜2；

（3）存在．理由如下：
如圖2，
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，
此時在Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=，即x==
解得：，
∴當時，△EFO∽△EHG．
分析：（1）由ABCD為正方形，得到∠A與∠B都為直角，根據(jù)切線的判斷方法，得到AD與BC都為圓的切線，又PF為圓O的切線，根據(jù)切線長定理即可得到FE=FA，PE=PB，根據(jù)等量代換的方法得到四邊形CDFP的周長等于AD+BC+CD，根據(jù)正方形的邊長Wie2，求出周長即可；
（2）連接OE，由PF為圓O的切線，得到OE與PF垂直，由AO=OE，OF為公共邊，利用“HL”的方法即可得到Rt△AOF≌Rt△EOF，故∠AOF=∠EOF，同理得到∠BOP=∠EOP，即可得到∠FOP為90°，由OE與FP垂直，根據(jù)兩對對應角相等的兩三角形相似得到Rt△EOF∽Rt△EPO，由相似得出對應邊成比例，即可列出y與x的函數(shù)關系式，根據(jù)正方形的邊長為2寫出自變量x的取值范圍即可；
（3）存在．理由是：當Rt△EFO∽Rt△EHG時，必須使∠EHG=∠EFO，而根據(jù)平行得到∠EHG=∠EOA=2∠EOF，即∠EFO=2∠EOF，又因為∠FEO為90°，所以∠EOF=∠AOF=30°，根據(jù)30°的正切值求出AF的長即為y的值，然后代入（2）中的函數(shù)關系式即可求出x的值．
點評：此題綜合考查了切線長定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．見了有切線圓心與切點連，是常添的輔助線．第三問屬于探究條件型的題，在解答這類題時應采用逆向思維，視結論為題設，尋找必要的條件，從而達到解題的目的．